注射器の針キャップをうまく外せません…

ドクターに注射器を渡す際に、針キャップ(名称が違ったらすみません)を少し外し、ドクターに注射器を渡しますね。

そのキャップを少し外すことがスムーズにいかず、もたもたしてしまいます。不潔になった注射器で練習するのですが、うまく出来ることもあるのですが、たまに針先がキャップ内に触れてしまいます。私のやり方は右手で注射器(20ccの場合)の２ccあたりを持ち、左手でキャップの接続部より少し下をもつ。そしてキャップを軸に注射器をあげて外しています。その際、まっすぐあがるように右手と左手を少し重ねて固定してみました。うまく説明できなくて申し訳ないですが、どうでしょうか？

なにかコツはありますか？よろしくお願いします。