大規模な病院や著名一流病院への転職について

地方の総合病院に勤めて５年目なのですが、現在、転職を考えています。

ある人材紹介会社に相談したところ、

病床数５００床以上あるような大規模病院や、

いわゆる有名どころの病院は紹介先として扱っていない、

と言われてしまったのですが、どこの人材紹介会社もそうなのでしょうか？

そうした病院は、ツテとかコネですぐに空きが埋まるとも聞いています。

ツテもコネもないとなると、

自分で調べて履歴書をひたすら送るくらいしかできないのでしょうか？

同じような転職を成功させた方がいたら、ご助言をお願いします。